Estatística Fácil: agosto 2010

terça-feira, 24 de agosto de 2010

Moda:
Amodal – sem moda, sem valores repetidos
Ex.: X = (1,2,3)

Unimodal – Um único nº repetido
Ex.: X = (1,5,1,3)

Bimodal – Dois nº Repetidos
Ex.: X = (1,3,1,3,9)

Multimodal – Mais de 3 nº repetidos
Ex.: X = (1,3,4,1,3,4,9)

**OBS.: X = ( 1,1,2,2,3,3) Não é considerado Moda

Mediana:
Para a seguinte população:

1, 3, 5, 7, 9
A mediana é 5 (igual à média)
No entanto, para a população:
1, 2, 4, 10, 13
A mediana é 4 (enquanto a média é 6)
Para populações pares:
1, 2, 4, 7, 9, 10
A mediana é (4+7)/2, que é 5.5.

Média geométrica: Entre n valores, é a raiz de índice n do produto desses valores. Veja no exemplo, a média geométrica entre 1, 2 e 4:

Média Harmônica: A média harmônica equivale ao inverso da média aritmética dos inversos de n valores. Parece complicado, mas é bastante simples, veja o exemplo:

Média harmônica entre 2, 6 e 8. Primeiramente é necessário calcular a média aritmética dos inversos dos valores dados:

depois, faz-se o inverso do resultado, tendo finalmente as médias: 2,6,8:

Em todas as médias o resultado estará entre o maior e o menor número dado.

Para os mesmos valores, a média aritmética terá o maior valor, seguida da média geométrica e depois a média harmônica.

Exemplos das médias

Média aritmética simples

1- João deseja calcular a média das notas que tirou em cada uma das quatro matérias a seguir. Calcule a média ponderada de suas notas, sendo que as duas primeiras provas valem 2 pontos e as outras duas valem 3 pontos:

Inglês

1ª prova 6,5

2ª prova 7,8

3ª prova 8,0

4ª prova 7,1

(13 + 15,6 + 24 + 21,3) / 10 = 73,9 / 10 = 7,39

2- Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguintes casos:

a) 15; 48 ; 36 (15 + 48 + 36) /3 = 99 / 3 = 33

b) 80 ; 71 ; 95 ; 100 (80 + 71 + 95 + 100) / 4= 346 / 4 = 86,5

c) 59 ; 84 ; 37 ; 62 ; 10 (59 + 84 + 37 + 62 + 10) / 5= = 252 / 5 = 50,4

Média aritmética ponderada

Neste tipo de média aritmética, cada número que fará parte da média terá um peso. Este peso será multiplicado pelo número, que serão somados e dívidas depois pela soma dos pesos. Veja o exemplo:

1- calcule a media aritmética ponderada dos dados citados abaixo dos atletas olímpicos:

Mediana: é uma medida de tendência central, um número que caracteriza as observações de uma determinada variável de tal forma que este número (a mediana) de um grupo de dados ordenados separa a metade inferior da amostra, população ou distribuição de probabilidade, da metade superior. Mais concretamente, 1/2 da população terá valores inferiores ou iguais à mediana e 1/2 da população terá valores superiores ou iguais à mediana.

A mediana pode ser calculada para um conjunto de observações ou para funções de distribuição de probabilidade.

**Cálculo da mediana para dados ordenados:

No caso de dados ordenados de amostras de tamanho n, se n for ímpar, a mediana será o elemento central (N+1)/2. Se n for par, a mediana será o resultado da média simples entre os elementos e N/2 E N/2+1

segunda-feira, 16 de agosto de 2010

Moda: é o valor que detém o maior número de observações, ou seja, o valor ou valores mais frequentes. A moda não é necessariamente única, ao contrário da média ou da mediana. É especialmente útil quando os valores ou observações não são numéricos, uma vez que a média e a mediana podem não ser bem definidas.
A moda de {maçã, banana, laranja, laranja, laranja, pêssego} é laranja.
A série {1, 3, 5, 5, 6, 6} apresenta duas modas (bimodal): 5 e 6.
A série {1, 3, 2, 5, 8, 7, 9} não apresenta moda. Bimodal: possui dois valores modais Amodal: não possui moda.

Média harmônica:

É um dos vários métodos de calcular uma média.
A média harmônica dos números reais positivos a₁,…,a_n é definida como sendo o número de membros dividido pela soma do inverso dos membros, como segue

$H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}, \qquad x_i > 0 \text{ para todo } i.$

A média harmônica nunca é maior do que a média geométrica ou do que a média aritimética.
Para o caso particular de apenas dois números, outra forma de calcular é multiplicá-los e dividir o resultado pela média aritmética dos mesmos. Matematicamente:

$H = \frac {\alpha \cdot \beta} {\left(\frac{\alpha + \beta} {2} \right)}$

Equivalente à primeira para n = 2.
Utilizamos a Média Harmônica quando estamos tratando de observações de grandezas inversamente proporcionais como por exemplo, velocidade e tempo. A média harmônica é particularmente recomendada para uma série de valores que são inversamente proporcionais, como para o cálculo da velocidade média, custo médio de bens comprados com uma quantia fixa.

Média geométrica:

é um conjunto de números é sempre menor ou igual à média aritimética dos membros desse conjunto (as duas médias são iguais se e somente se todos os membros do conjunto são iguais). Isso permite a definição da média aritmética-geométrica, uma mistura das duas que sempre tem um valor intermediário às duas.

$\bigg(\prod_{i=1}^n a_i \bigg)^{1/n} = (a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n)^{1/n} = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n}$ .

Média aritimética ponderada:

Consideremos uma coleção formada por n números: $x_1, x_2, \ldots, x_n$ , de forma que cada um esteja sujeito a um peso [Nota: "peso" é sinônimo de "ponderação"], respectivamente, indicado por: $p_1, p_2, \ldots, p_n$ . A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um multiplicados por seus respectivos pesos, dividida pela soma dos pesos, isto é:

$\bar{x} = \frac{x_1 p_1 + x_2 p_2 + .. .. + x_n p_n}{p_1 + p_2 + .. .. + p_n}$

**Obviamente, a média aritmética e a média ponderada podem ser generalizadas para estruturas algébricas mais complexas; a única restrição é que a soma dos pesos seja um número invertível (em particular, não pode ser zero).

Média Aritimética

Média aritimética simples:

A média aritmética simples é a mais utilizada no nosso cotidiano. É obtida dividindo-se a soma das observações pelo número delas. É um quociente geralmente representado pelo símbolo $\bar{x}$ . Se tivermos uma série de n valores de uma variável x, a média aritmética simples será determinada pela expressão:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + .. .. + x_n}{n} = {1 \over n} \sum_{i = 1}^n{x_i}$

sábado, 14 de agosto de 2010

O que é estatística?

A estatística é um ramo da matemática aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para utilização dos mesmos na tomada de decisões.

Um pouco de história...

Desde a antiguidade, vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimento, de óbitos, faziam estimativas das riquezas individual e social, distribuíam equitativamente terras ao povo, cobravam impostos e realizavam inquéritos quantitativos por processos que, hoje, chamaríamos de ''estatísticas''.